조율법 ; 이영록의 음악 페이지

조율법(1) ; 걸음마 단계의 분들을 위해

   음정, 이 말은 음악을 즐기시는 분께는 장르를 불문하고 따라다니는 말입니다. 심지어는, 음악의 '음'자도 듣기 싫어하시는 분께도 '음치'라는 개념으로 쫓아올 수 있죠 - 음치를 음악적으로 정의하자면 "음정을 잘 잡지 못하는 사람"입니다. ^^ 그러면, 도대체 이 '음정'은 무엇이며, 그리고 이 밑바탕에 도사리고 있는 '조율'은 무엇일까요? 딴지일보식으로 말해서...

   조율, 니 *구멍까지 디벼 주마!

   하하. 하지만, 여기서는 정말 깊숙히 파고 들어가지는 않겠습니다(제가 그 이상은 잘 모르기 때문이기도 하죠). 특히 이 조율법은 건반악기의 경우 특히 중요한데(이유는 밑에서 설명드리겠습니다), 이것만 따져도 거의 책 한 권의 분량은 나오기 때문입니다. 이 글에서는 시대적 순서로, 모든 조율법의 기본이 되는 피타고라스 음률, 중세의 조율법 2~3 가지 외에 가장 익숙한 평균율에 대해서만 설명드리기로 하죠.

Written by Youngrok LEE

'음정'의 출발

사람이 있는 곳에는 음악이 있었음은 유사 이래 거의 틀림 없으며, 이 면에서는 사람을 'Homo musicus'로 불러도 하나도 이상하지 않습니다. 사람들은 두드릴 수 있는 북부터 시작하여, 줄이 퉁기면 일정한 소리를 내며, 구멍 뚫은 뼈나 소라 껍질 등이 불면 일정한 소리를 내는 것을 발견했을 것입니다. 그러다가 '음높이'를 발견하게 되었는데, 처음에는 이것이 무엇인지 정확히 인식하지 못하다가 줄의 길이를 바꾸거나 뼈나 나무의 구멍을 바꾸면 소리가 어딘지 모르게 달라지는 데서 깨달았을 것입니다. 하지만 고대 그리스까지 이 문제는 주먹구구식 시행 착오의 단계를 벗어나지 못했습니다.

피타고라스 음률

옛 그리스 때는, 도자기 표면에 그려진 그림 등에서 알 수 있듯이 꽤 음악이 번성했습니다. 그리스 때는 자연에 대해 온갖 설이 나왔을 정도로 사람들의 호기심이 왕성했는데, 음악이라고 예외가 아니어서 '피타고라스의 정리'로 유명한 피타고라스 학파(누가 발견했는가는 별 상관이 없지만, 흔히들 말하는 설을 따른다면요)가 다음의 사실을 발견했습니다. 줄을 울려 소리를 내는 경우¹⁾ 원래 길이의 1/2로 줄 길이를 줄이면 옥타브(octave, 완전 8도 음정입니다) 위의 음정이 나오며, 2/3으로 줄이면 완전 5도(도-솔의 음정입니다) 위의 음정이 나온다는 것이죠.
다들 싫어하는 수학 얘기가 되는 것 같아서 죄송합니다만, 위 얘기의 밑바닥에는 첫째 "음정은 상대적인 비율을 나타낸다"와 "음정에는 물체의 진동수가 중요하다"가 깔려 있습니다. '진동수'는 소리를 내는 물체가 단위 시간당 얼마나 많이 떠는가로 정의하며, 일반적으로 1초당 횟수(헤르츠, Hz)로 표시합니다. 이 현대적인 용어로 피타고라스의 말을 다시 표현하면, "기준음에서 옥타브 위의 음은 진동수가 2배이고, 완전 5도 위의 음은 3/2배의 진동수를 갖는다"가 됩니다. 이 단 두 가지 사실에서, 한 옥타브 내의 12개의 음이 어떤 진동수의 비율을 갖는지 다 끌어낼 수 있습니다. 한 번 해 볼까요?

음

진동수 비율

3/2

(3/2)²

(3/2)³

(3/2)⁴

(3/2)⁵

(3/2)⁶

(3/2)⁷

(3/2)⁸

(3/2)⁹

(3/2)¹⁰

(3/2)¹¹

(옥타브 맞추기)

1/2

(1/2)²

(1/2)³

(1/2)⁴

(1/2)⁵

(1/2)⁶

(1/2)⁷

진동수

440

330

495

371.25

278.44

417.66

313.24

469.86

352.40

264.30

396.45

297.34

한 음에서 출발하여 11번 완전 5도씩 위로 갔는데, 옥타브 안의 12개의 음이 전부 다 나왔죠? 이 음들을 한 옥타브 안으로 다 모으려면, 위의 표 밑에 적은 것처럼 1/2를 적당히 곱해 주면 됩니다. A부터 출발한 이유는, 지금 조율의 기준은 가온다 위의 A음을 사용하기 때문입니다(보통 A=440 또는 442를 쓰는데, 이것도 경우에 따라 바뀌죠).
이 조율법의 장점은, 완전 5도끼리는 아주 잘 어울린다는 점입니다. 이런 조율법은 아직도 바이올린 족의 현악기들 - 바이올린, 비올라, 첼로, 더블 베이스 - 이 사용하죠. 하지만 음악에 중세 이후 완전 5도 외에 3도가 쓰이기 시작하자, 처음에 그리 심각하지 않게 취급했던 문제들이 점차 심각해졌습니다. 피타고라스 조율의 문제점으로는 다음을 꼽을 수 있습니다.

기준음에서 완전 5도씩 12번 옮기면 7옥타브 위의 음이 되는데, 이 음의 진동수는 기준음의 2⁷배가 되어야 함에도 불구하고(7옥타브 위니, 당연히 2⁷배여야죠) 그렇지가 않다. 이 방식으로 계산하면 (3/2)¹²배가 되니, 이것은 원리적으로 2⁷과 같을 수가 없는 것이다. (3/2)¹²/2⁷=~1.0136 이므로 오차는 약 1.36%며, 뒤에 설명할 12 평균율의 반음으로 바꾸면 약 1/4 반음(정확하게는 0.2346 반음²⁾)이 된다.
완전 5도는 아주 잘 맞는데 비해, 장 3도(도-미)의 음정이 어긋난다(즉, 울림이 아름답지 못하다). (뒤에서 설명하지만) 원래 장 3도의 진동수 비율은 5/4(1.25) 인데, 위 표에서 보면 A와 C#의 비율이 (3/2)⁴×(1/2)²=81/64(1.266)이 되므로 역시 1/4 반음 정도 오차가 있다³⁾. 단 3도의 음정도 마찬가지로 어긋나므로, 3도의 음정이 어긋나는 문제가 발생하는 셈이다.
위의 표는 기준음에서 5도 위씩 상행하면서 계산했는데, 반대로 하행하면서 계산하면 결과가 다르게 나온다. 계산 방식은 위 표와 마찬가지인데, 단 2/3씩 곱해 주고 옥타브 범위를 맞추기 위해 2ⁿ를 적당히 곱해 주면 된다. 이 결과는

하행음	E	B	G♭	D♭	A♭	E♭	B♭	F	C	G	D	A
진동수(하행 계산)	325.56	488.34	366.25	274.69	412.03	309.03	463.54	347.65	260.74	391.11	293.33	440
진동수(상행 계산)	330	495	371.25	278.44	417.66	313.24	469.86	352.40	264.30	396.45	297.34	440
상행음	E	B	F#	C#	G#	D#	A#	F	C	G	D	A

상행으로 계산한 쪽이 하행으로 계산한 것보다 항상 높음을 쉽게 알 수 있다. 이 차이는 위에서 말한 1.36%(약 1/4 반음)다.

마지막 예(3번)를 잘 관찰해 봅시다. 중간의 G♭-F#부터 B♭-A#까지는 피아노 건반에서 같은 음 아닙니까? 그런데 G♭와 F#가 소리가 차이가 나네요.... 그러고 보니 G♭는 F에 가깝고, F#는 G에 가깝군요(즉 G♭는 낮고, F#는 높군요). 아하! 이것이 바로 '이끔음(leading tone)'의 개념입니다. 위에서 말한 것처럼 G♭는 G보다는 F에 가깝기 때문에, G♭를 들을 경우 다음에 F음이 나오기를 기대하게 됩니다. 마찬가지로, F#의 경우 사람의 귀는 G를 기대하게 되죠. 그래서, 민감한 현악기나 관악기 연주자들은 G♭-F 순서의 음을 연주할 경우 G♭를 아주 약간 낮게, F#-G인 경우 F#를 약간 높게 연주합니다. 이 편이 '더 음악적이고 자연스럽게' 들리죠.
단, G♭와 F#가 같은 음이 아니란 사실은 건반악기의 조율에 심각한 문제를 야기합니다. 피아노에서 G♭와 F#는 불가피하게 한 건반이 담당할 수밖에 없는데, 엄격하게 말해서 이 둘이 다른 음이라는 것은 "건반악기는 변화음(#나 ♭이 붙은 음)을 조율할 때 원래의 음정대로 정확히 조율할 수 없다"는 것을 의미합니다. 여러 조율법의 역사는 건반악기를 중심으로 이 변화음 문제를 어떻게 해결하느냐에 따라 전개된다고 말해도 좋을 만큼, 건반악기는 조율법의 역사에서 매우 중요한 자리를 차지하고 있습니다.

어쨌건, 피타고라스 조율법의 이러저러한 단점들 때문에 중세에 들어오면서는 다른 조율법이 등장했는데, 이것은 다음 페이지에서 보시겠습니다.

[ 주 ]

실제 현악기의 음정은 줄의 길이뿐 아니라 굵기, 장력에도 좌우됩니다. 기타를 보면 저음 줄은 굵은 것을 쉽게 알 수 있습니다. 관악기의 경우, 관의 길이에만 좌우되지만(관의 안지름이 그다지 중요하지 않다는 것은 약간 의외죠. 이 효과는 다른 곳에서 나타납니다) 한쪽 끝이 막혀 있는지 아닌지에 따라 음이 달라지기 때문에 약간 복잡합니다.
정확한 계산에 관심이 있는 분을 위해 수식을 여기 소개하겠습니다. 12 평균율에서 반음 사이의 진동수 비율은 2^1/12=1.05946입니다. 이것은 반음 12개 위로 가면 옥타브(진동수 2배)가 되는 데서 나오는 공식입니다. 반음 x만큼 떨어진 두 음의 진동수 비를 R이라 할 경우는

      2^(x/12) = R, ∴ x = 12 log₂R

R=(3/2)¹²/2⁷=(3¹²/2¹⁹)를 대입하면 x = 0.2346 입니다.
   참고로 말하면 '센트(cent)'란 단위를 음정을 논할 때 쓰는 경우가 많은데, 옥타브 사이를 1200센트로 놓습니다. 우리에게 익숙한 12 평균율에서는 반음 사이가 무조건 100센트가 됩니다. 이 단위를 쓰면 x = 23.46 센트가 되는 셈인데, 피타고라스 조율법에서는 이 23.46센트의 오차가 항상 따라다닙니다. 이 오차를 전문 용어로는 '피타고라스의 코마'라고 하더군요.
이것은 '디뒤모스의 코마'라고 불립니다. 이 비율은 R=(3/2)⁴×(1/2)²/(5/4)=(3⁴/2⁴×1/5) 이므로, 위의 공식에서 x = 0.2151, 즉 21.51 센트입니다.

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Created ; 10th Jun. 2007

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